Нeзависимост на криволинейния интеграл от
пътя на интегриране
Целта оправдава средствата.
Игнаций Лойла
Да разгледаме криволинейния интеграл от II род
по начупената линия OAB , където координатите на точките са: O(0, 0) ; A(1, 0) ; B(1, 1)
По отсечката OA y = 0 и dy = 0 ⇒ I1 = 0.
По отсечката AB x = 1 и dx = 0.
⇒ I = 1.
Сега да разгледаме същия интеграл по пътя OA’B.
По отсечката OA’ x = 0 и dx = 0 ⇒ I1 = 1.
По отсечката A’B y = 1 и dy = 0
⇒ I = 2.
За същият интеграл по параболата с уравнение y = x2 ,
свързваща A с B имаме:
y = x2 ⇒ dy=2x.dx.
Изводът който можем да направим, е че този интеграл зависи от пътя на интегриране.
Предлагаме да покажете, че интегралът:
не зависи от пътя на интегриране и по трите пътя той е равен на 1.
Когато интегралът не зависи от пътя на интегриране
а само от началната и крайната точка на този път -
A( x0 , y0) и B( x1 , y1 ),
можем да използваме означенията:
Теорема:
Нека P и Q са непрекъснати функции на променливите x и y .
Интегралът
не зависи от пътя на интегриране а единствено от началната и крайната точка на този път
⇔
когато съществува такава функция F = F(x,y), за която изразът:
P(x,y).dx+Q(x,y).dy е
пълен диференциал на функцията F.
Доказателство:
Необходимост: (→)
Да предположим, че интегралът I не зависи от пътя на интегриране.
Да положим:
Функцията F е дефинирана правилно точно поради независимостта от пътя.
Ще покажем че частната производна ∂F/∂x на F спрямо x е P(x,y).
За целта разглеждаме пътя на интегриране:
( x0 , y0 ) → ( x , y ) → ( x + Δx , y ),
като последният участък
е хоризонтална отсечка с дължина Δx.
При последния интеграл dy=0, така, че той е равен на
От теоремата за крайните нараствания той е равен на Δx .P( x + θ.Δx , y ),
където θ ∈( 0,1) (ето къде се използва непрекъснатостта на P).
При Δx→0 получаваме:
Аналогично ∂F/∂y = Q(x,y).
Достатъчност: (←)
Ако изразът P.dx + Q.dy е пълен диференциал на функцията F то:
Нека x = x(t) и y = y(t) където t ∈ ( t0 , t1 ) е път,
свързващ точките A( x0 , y0 ) и B( x , y ).
От формулата за диференциране на сложна функция получаваме:
а от начина за изчисляване на криволинеен интеграл при параметрично зададена крива получаваме:
резултат който не зависи от конкретния път.
Използвайки теоремата за равенство на смесените производни:
получаваме:
така, че условието за независимост от пътя може да се изрази и с равенството: .
Какво ще научим:
Формула на Остроградски - Грин