Тази статия е преведена дословно от
www.math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/...
...CalculusQuestStudyGuides/vcalc/255doub/255doub.html
От уважение към оргинала са запазени цветовите гами,
означенията и чертежите, направени вероятно на „MathCad”.
Авторът е John Lee , преподавател в Орегонския щатски университет.
Статията е издържана в един непретенциозен стил,
който се стремя да достигна.
Другите похвали, коментари и забележки са вмъкнати в самия текст.
Те са оградени в скоби и са означени с звездичка.
В анализа се разглежда определеният интеграл от функция на една променлива
Ако f(x)>=0 той представлява площта под графиката на f(x) над оста Ox от x=a до x=b.
(* Бихме означили неотрицателността със съответния знак, използвайки картинков файл.
При използвания от автора начин се пести време, без яснотата да пострадва. )
В общия случай определеният интеграл изразява площта над оста Ox минус тази под нея.
Понятието определен интеграл може да се разшири и за функции от повече променливи.
Да разгледаме една функция на две променливи z=f(x,y).
Определеният интеграл се означава със символа:
където R е областта на интегриране в равнината Oxy.
(* При нас се използва D за означение на областта на интегриране, вместо R.
Още, вместо dA , идващо от английското “area” се използва dS или dxdy.)
За положителна функция f(x,y), в областта R той е равен на обема, разположен
под повърхнината z=f(x,y) и над равнината Oxy за x и y в областта R.
(* По вертикалната ос трябва да бъде не N а z. Картинките са прекомерно големи.)
В общия случай определеният интеграл е равен на обема тялото над равнината Oxy минус този под нея.
Двойният интеграл се използва в различни области на науката и инжинерството, включващи:
- изчисляване на обеми,
- площи в равнината,
- определяне на масата на нееднородни пластинки,
- определяне на силата, действаща на същите,
- определяне на център на масате и инерциалния момент
- изчисляване на площта на повърхности
Риманови суми
Както в случая на интеграл на функция от една променлива двойния интеграл се определя като граница на
Римановите суми.
Да разделим областта R на правоъгълници, както е показано на долната фигура.
Да предположим, че те са M на брой по направление на x и N по y.
Да означим тези правоъгълници с R_ij_ , където 1<=i<=M и 1<=j<=N.
Да си мислим за определения интеграл като за обем.
Обемът под повърхността и над правоъгълника R_ij_ е приблизително f(x_i ,y_j )A_ij_ ,
където Aij е лицето на правоъгълника и f(x_i ,y_j) е приблизително височината на повърхнината над него.
Тук (x_i_ ,y_j_ ) е произволна точка от правоъгълника R_ij_.
(* В оргинала долните индекси са на нивото на текста, но са отделени от него с долно тире.
Бихме използвали тага "sub": Rij )
Ако сумираме по всички правоъгълници ще получим:
Извършвайки граничен преход при клонящи към 0 лица на всички правоъгълници,
сумата отдясно ще клони към определения интеграл.
Величината f(x,y)dA в определения интеграл представлява обема, отнасящ се за една
безкрайно малка област около точката (x,y).
Тази област е толкова малка, че изменението на f(x,y) в нейните граници е пренебрежимо.
Двоен интеграл в правоъгълна област
Да предположим, че f(x,y) е непрекъсната функция в правоъгълна област,
както е на горния чертеж.
Двойния интеграл
представлява обема под повърхността.
Можем да изчислим обема чрез разделяне на пространственото тяло на слоеве като филии от хляб.
Да предположим, че слоевете са успоредни на оста y.
Пример на такъв разрез между x и x+dx е показан на фигурата.
(* Действително са твърде големи. Да повторим, че вертикалната ос е z.
Но се забелязва стремежа картинката да следва словесното обяснение а не да го съпътства.)
При безкрайно малка дебелина dx, обемът на слоя е равен на лицето на вътрешното сечение по дебелината dx.
Лицето на вътрешното сечение е лицето под кривата f(x,y) за фиксирано x и променящо се y в интервала [c ; d].
(Забележете, че ако дебелината dx е безкрайно малка x не се променя в слоя.
Ние можем да предположим, че x е константа.)
Долната фигура изобразява едно вътрешното сечение.
Лицето се получава чрез интеграла
(* Бихме означили този интеграл с I(x). )
Интеграционната променлива е y а x е КОНСТАНТА.
Лицето на вътрешното сечение зависи от x.
Ето защо пишем C=C(x), отразявайки тази зависимост.
Обемът на слоя между x и x+dx е C(x)dx.
Пълният обем е сума от обемите на всички слоеве между x=a и x=b:
Ако заместим C(x) получаваме:
Това е пример на повторен интеграл.
Интегрира се първо по y а след това по x.
Интегралите по отношение на y и на x се наричат съответно вътрешен и външен интеграл.
Аналогично слоевете могат да бъдатуспоредни на оста x.
В този случай обемът се дава с:
Вътрешният интеграл представлява лицето на един вътрешен слой между y и y+dy.
Величините f(x,y)dydx и f(x,y)dxdy представляват стойността на двойния интеграл в безкрайно малък
правоъгълник между x и x+dx и y и y+dy.
Дължината и ширината му са съответно dx и dy.
Следователно dydx (или dxdy) е лицето на правоъгълника.
Можем да направим връзката dA=dydx (или dA=dxdy).
Пример
Да разгледаме двойния интеграл:
където R е правоъгълника 0<=x<=1, 1<=y<=2.
Да интегрираме първо по отношение на y.
Получаваме:
Вътрешният интеграл е:
(* Вертикалната черта при формулата на Нютон-Лайбниц е несъразмерно малка.)
Забележете, че x се счита за константа, докато интегрирането се извършва по y.
Интегралът е равен на:
Сега остана да се справим с интеграла:
Аналогично, ние можем да интегрираме първо по x и после по y.
Получаваме:
Вътрешният интеграл е:
Забележете, че сега считаме y за константа а интегрираме по отношение на x.
Външният интеграл е :
Двата подхода водят до един и същи резултат.
Интеграли като горните се използват при изчисляването на:
- Лице: ако f(x,y)=1, двойният интеграл дава лицето на областта R.
- Обем: интегралът е равен на обема под повърхнината z=f(x,y) над областта R.
- Маса: ако R е пластина с нехомогенна маса и f(x,y) е плътността и за единица площ то интегралът е масата на пластинката.
- Сила: ако f(x,y) е силата, действаща на единица площ в посока надолу, интегралът е пълната сила, действаща върху плочата.
- средна стойност: интегралът върху площа R е средната стойност на функцията f(x,y) по R.
Двоен интеграл по неправоъгълна ( обща) област
В този раздел ще разгледаме двоен интеграл по по-общи области.
Да предположим, че областта R се дефинира чрез G_1(x)<=y<=G_2(x) като a<=x<=b.
(* Да припомним, че долното тире у автора е означение за долен индекс.)
Такава област се нарича обикновена (* регулярна) по отношение на y.
Двойният интеграл се изчислява посредством:
За да изведем тази формула "разрязваме" тримерното тяло на слоеве, успоредни на оста Oy.
Фигурата по-долу показва един горен изглед между x и x+dx.
Вътрешният интеграл
е площта на напречното сечение на разреза между x и x+dx.
Обемът му между x и x+dx е C(x)dx.
Пълният обем е сумата от обемите на всички слоеве:
Ако R обикновена по отношение на x, т.е. ако областта е дефинирана чрез
c < =y< =d и H_1(y)<=x<=H_2(y), тогава
В този случай разрезите са успоредни на оста Ox.
Вътрешният интеграл
е площта на напречното сечение на разреза между y и y+dy.
Обемът му между y и y+dy е C(y)dy.
Пълният обем е
В някои случаи областта може да не бъде обикновена нито по отношение на x нито по отношение на y.
Въпреки това, в общия случай областта може да бъде разделена на хоризонтално и вертикално обикновени области.
Пример
Изчислете двойния интеграл
където R е ограничена от y=x и y=x^2. Виж фигурата по-долу.
Можем да разглеждаме областта R като обикновена по отношение на y.
В този случай интегралът се изчислява чрез
Вътрешният интеграл е (помнете, че x е константа)
Външният интеграл е:
Областта може да се счита за обикновена и по отношение на x.
Лявата функция може да се запише x=H_1(y)=y.
Дясната y=x^2 може да се запише x=sqrt(y).
(* ^ е означение за степен а sqrt за корен квадратен (square root))
Вътрешният интеграл е
Можете да проверите, че отговорът е 5/4.