Физически смисъл на дивергенцията
От точката обем излиза.
А казват, че без измерение е тя.
Във точката обем се влива.
Но пак точка си остава тя.
Написал -неизвестен
Нека в пространството е зададено векторно поле с декартови координати F = (P, Q, R).
Всяка от тях зависи от (x, y, z), така че векторното поле зависи от координатите на точката S(x, y, z) посредством компонентите си (P, Q, R).
Зависимост, която изразяваме посредством равенствата
F = F(P, Q, R) = F(x, y, z) = F(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
Ще считаме, че векторното пространство „пренася” количество е ще изразим това количество за
единица безкрайна малък обем около точка S(x, y, z).
Да оградим точка S с кубче със страни успоредни на координатните оси и с дължини
Δx, Δy и Δz.
Количеството, преминаващо в направление Ox е
.
Аналогично се изразяват количествата в останалите две направления.
Общото количество, излизащо от разглеждания обем е
Да разделим получената величина на обема Δx.Δy.Δz и да устремим
Δx, Δy и Δz към нула по такъв начен, че точка S да остане вътрешна за кубчето.
Получаваме
Така получаваме следното твърдение.
Количеството, излизащо от безкрайно малък обем около точка S, в декартови се изразява чрез сумата от
частните производни компонентите на векторното поле спрямо съответните им координати.
Това количество за безкрайно малък обем се нарича дивергенция и се означава с
div ( F ).
В декартова координатна система дивергенцията се задава с равенството:
div ( F ) = Px + Qy + Rz .
Ако дивергенцията за точка S е положителна, точката се нарича „източник” а ако е отрицателна – „ вточник”.
За вточник се използват и други, по – известни думи – консуматор или атрактор.
Какво ще научим:
Теоремата на Гаус-Остроградски - формулировка и коментари
Физически смисъл на ротацията