Градиент и производна по направление
Тази статия е свободно преведена от
http://www.math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/
CalculusQuestStudyGuides/vcalc/grad/grad.html
Нейният автор е John Lee , преподавател в Орегонския щатски университет.
Статията е издържана в един непретенциозен стил, който се стремя да достигна.
Посоката нагоре следвам,
Към ясни, бели висини.
Надолу даже не поглеждам.
Посоката ме възвиси.
Написал - Неизвестен
Градиентът на функцията u = f(x, y, z) е векторна функция.
Дефинира се с:
Означава се с grad(f) или с ∇f.
За функция от две променливи z = f(x, y) grad(f) е двумерен вектор:
Тази дефиниция се обобщава и за функции на повече променливи.
Примери
За функцията z = f(x, y) = 4x2 + y2 градиента е grad(f)=(8x, 2y)
За функцията
градиентът е
Геометрично описание на градиентния вектор
Подходящ начин за неговото описание е геометричния му смисъл.
Да разгледаме функцията на две променливи
z = f(x, y) = 4x2 + y2.
Повърхността, дефинирана с това уравнение е елиптичен параболоид
имащ чашовидна форма.
Дъното на "чашата" е в началото на координатната система Oxyz.
Фигурата по-долу показва линиите на ниво, дефинирани с равенстввото
4x2 + y2 = C.
В случая те са елипси.
Начертани са част от векторите, образуващи векторното поле,
породено от градиентните вектори с координати(8x, 2y).
Както се вижда от чертежа, градиентният вектор в точката (x, y ) е перпендикулярен
на линията на ниво, минаваща през тази точка.
Както ще отбележим по-нататък, градиентния вектор е насочен по посока на максималното
нарастване на функцията f(x, y).
В тримерното пространство линиите на ниво се наричат повърхности на ниво.
Те се дефинират с равенството f(x, y, z) = C.
Градиентния вектор в точката с координати (x, y, z) е нормален към повърхността
на ниво през тази точка.
Производна по направление
За функцията z = f(x,y) частната производна по отношение на x изразява
скоростта на изменението на f по направлението x.
Аалогично, частната производна по отношение на y изразява скоростта на изменение на
f по направлението y.
Как да изчислим скоростта на изменението на f по произволно направление.
Скоростта на изменение на функция на няколко променливи по посока на вектора e се
нарича производна по направлението, определено от единичния вектор e.
Предполагайки, че f = f(x, y, z) е функция f: R3 → R и
e = (e1 , e2 , e3 )
са координатите на единичения вектор e то:
Забележете, че ако единичния вектор е насочен по i = (1, 0, 0) производната по неговото
направление е частната производна спрямо x
При общия случай производната по направление се получава от трите частни производни.
Пример
Каква е производната по направление по посоката на вектора u = (1, 2) на функцията
z = f(x,y) = 4x2 + y2 в точката (1, 1)?
Нейният градиент е (8x, 2y) чиито координати в точката (1, 1) са (8, 2).
Посоката на вектора u се определя от неговите координати (1, 2).
Съответният му единичен вектор е
следователно
Посоки на максимално и минимално нарастване
Производната по направлението, определено от вектора u може да се запише и така:
където тита е ъгълът между градиентния вектор и вектора u.
Производната по направление получава своята най-голяма стойност ако ъгълът тита е нула.
Следователно направлението на най-голямо нарастване е направлението, определено
от градиентния вектор.
Направлението на максималноотрицателната стойност на производната по направление
се получава при тита равно на π или (1800).
Следователно посоката на най-бързо намаляване на функцията е посоката, противоположна на
тази на градиента.
Какво ще научим:
Дивергенция ( пиша )