Какво трябва да знаем:           Интеграли по повърхнина втори род       Набла операции
Елементарна площ       Криволинеен интеграл от II род (по координати)       Формула на Джордж Грин 		Векторен анализ
Висша математика II част

Теорема на Стокс - формулировка и коментари

Със вихрите в косите твои
гладкия перчем аз реша
свой.


Теоремата на Стокс гласи, че ако Σ е гладка повърхност с граница ∂Σ и v(P, Q, R) е гладко векторно поле върху повърхността Σ то:
Теорема на Стокс Theorem
Да разгледаме подинтегралния израз отляво.
Ротацията на векторното поле Rotv е векторът на ротацията на векторното поле Координати на векторното поле v
Ротацията на векторното поле Rotv1
Ясно е че (P, Q, R) са функции на (x, y, z).
С долни индекси са означени техните частни производни по съответните променливи.
Нека Σ е параметризирана с параметри (u, v) .
Тогава повърхността Σ има уравнение Уравнение на повърхнината Sigma
Векторът Векторът на елементарната площ N1 е векторът на елементарната площ Векторът на елементарната площ N2
Тогава подинтегралният израз отляво е скаларното произведение на вектора rot(v) и вектора на елементарната площ n.dσ .
Чертеж Draw1

Интегралът от лявата страна на формулата на Стокс може да се представи като сума на три интеграла от вида Интеграл I1
Това е интеграл от втори род по повърхнината Σ.
Можем да преминем към интеграл от първи род по същата тази повърхнина като използваме параметризацията на Σ : (x,y,z)= (x,y,z)(u,v) Интеграл I1_1
Средният интеграл е обикновен двоен интеграл по област в равнината (u,v) а последният е интеграл по повърхнина Ω (омега) от първи род. dω е числовата елементарна площ по Ω.
Ако се използва формулата Интеграл I1_2 знакът трябва да е плюс ако нормалният вектор на Ω сключва остър ъгъл с оста Ox и минус ако ъгълът е тъп.
Лявата част на теоремата на Стокс е потокът на ротацията на векторното поле v през повърхността Σ
А сега за дясната част на равенството в теоремата на Стокс: Лявата част на теоремата на Стокс LeftSide , както знаем, (P, Q, R) са координатите на векторното поле v а (dx, dy, dz) са координатите на вектора dr (векторът на елементарната дължина по линията ∂Σ ), когато радиус-вектора r пробягва контурът на повърхността Σ, означен с ∂Σ.
Чертеж
Подинтегралната функция представлява скаларното произведение на векторите v и dr.
Интегралът J е циркулацията на полето v по контура ∂Σ.
Това е криволинеен интеграл от втори род по линията ∂Σ .
Ако параметризираме затворената линия ∂Σ ще заместим (x, y, z) с (x(t), y(t), z(t)) dr=(dx, dy, dz) с (x’(t)dt, y’(t)dt, z’(t)dt) и интегралът J ще придобие вида Криволинеен интеграл I2 , което е един обикновен, определен интеграл.
Обобщавайки, теоремата на Стокс може да се изрази така Векторна форма на теоремата на Стокс StokesTh
Ако Σ е затворена повърхнина нейният контур ∂Σ се изражда в точка, такар че дясната част става нула. Следствие StokesTh1
Ще покажем, че теоремата на Грин-Гаус е частен случай на тази теорема.
Нека двумерното, гладкото векторно поле v има координати (P, Q, 0),
като не бива да забравяме, че P и Q са функции само на (x,y) но не и на z.
Σ е затворена част от равнината Oxy, където z и dz са нули.
Ротацията на v в равнината Rotz0
Теоремата на Стокс Теорема на Стокс в равнината StokesPlane в този случай придобива вида:
Теорема на Стокс в равнината StokesPlane1, което е точно теоремата на Грин.
Портретът е заимстван от: http://bg.wikipedia.org/wiki/
George Gabriel Stokes
Джордж Гейбриъл Стокс
1819-1903
Ирландски математик, физик и евангелист


Какво ще научим:      
Теорема на Стокс – доказателство       Теорема на Гаус-Остроградски       Дивергенцията и циркулацията като физични величини