Теорема на Стокс – доказателство

Какво трябва да знаем: Набла операции Елементарна площ Производна на сложна функция
Якобиан Пълен диференциал Криволинеен интеграл от II род
Формула на Джордж Грин Теорема на Стокс - формулировка и коментари

Векторен анализ
Висша математика II част

Теорема на Стокс – доказателство

Теоремата на Стокс гласи, че ако Σ е гладка повърхност с граница ∂Σ и v(P, Q, R) е гладко векторно поле върху повърхността Σ то:

Ще докажем тази теорема при допълнителното условие за непрекъснатост на частните производни в областта Σ
за да можем да приложим теоремата на Грин. Генерален план
1. Параметризираме повърхността Σ с параметри (u,v) и изчисляваме лявата част

.
2. Преобразуваме дясната част във вида

3. Използваме формулата на Грин и показваме, че B_u - A_v = C

В процеса на изпълнение на плана ще го детайлизираме.
Подинтегралният израз на лявата част

съдържа вектора Вектор на елементарната площ ndsigma1

I. Да го изчислим използвайки параметрите (u,v).

Записваме якобиана

за по-лесно изчисляване на векторното произведение r_u x r_v . Векторно произведение VectPr2

Откъдето:

II. Изчисляваме

Подреждаме координатите на ∇ и v в матрица за по-лесно изчисляване на векторното произведение ∇ × v Ротация на векторното поле rotv2

III. Изчисляваме подинтегралния израз на двойния интеграл

IV Сега да разгледаме дясната част на теоремата на Стокс

Използваме формулата за пълен диференциал:

за да преобразуваме подинтегралния израз и определяме множителите пред du и dv.

Означаваме ги с A и B.

V. Използваме теоремата на Грин

, преобразуваме подинтегралния израз отляво и
получаваме същото като в точка III. .
Трябва да се има предвид, че (P,Q,R) са функции от(x,y,z), които от своя страна са функции на (u,v).
Това е най-трудната част от доказателството.

Сега внимателно да намерим разликата B_u - A_v и да не забравяме, че трябва да докажем, че

Първо да забележим съкращаването на най-десните 6 едночлена на смесените производни.
Да забележим след това съкращаването на „диагоналните” събираеми.
Да запищем останалото. A_B3

Хоризонталната черта показва че от горното трябва да се извади долното.
Да групираме съответните симетрични елементи спрямо главните диагонали. Горе и долу. A_B4

Да си припомним, че трябва да докажем, че

Е, доказахме го.

Така се доказва, че

Какво ще научим: Теорема на Стокс - формулировка и коментари
Циркулация по контур и ротация на векторно поле - дефиниция Теорема на Гаус-Остроградски