Интеграл по повърхнина от втори род (по координати) -пояснения

Какво трябва да знаем: Двойни интеграли - пояснения към задачите Векторно поле Елементарна площ

Висша математика II част
Векторен анализ

Интеграл по повърхнина от втори род (по координати) -пояснения

Постановка на задачата

σ е повърхност - отворена или затворена.

Отворена повърхност

Затворена повърхност

Във втория случай интегралът се означава със символа

P , Q и R са функции на (x,y,z), те дефинират векторно пространство , което ще означаваме с v = (P,Q,R) .

Параметрично задаване

Ако повърхността σ е зададена параметрично Двупараметрични уравнения на повърхността Surf1

радиус-векторът на повърхността σ има координати, зависещи от параметрите (u,v), опосредствено чрез (x,y,z) σ: r = r(u,v) = r(x(u,v),y(u,v),z(u,v))
За да намерим елементарната площ , трябва първо да намерим частните производни на радиус-вектора r - r_u , r_v .
След това да намерим вектора на елементарната площ , равен на векторното произведение на частните производни на радиус-вектора r , умножено по множителя dudv :

От контекста на задачата трябва да определим посоката на вектора на елементарната площ.
Тогава изходния интеграл се записва в формата:

Явно задаване

При явно задаване на повърхнината σ: z = z(x,y) , параметризацията се извършва по параметрите (x,y).
Нормален вектор към повърхността при явното й задаване NormVect2

Нормален вектор към повърхността при явното й задаване NormVect2

Ако се налага смяна на ориентацията векторът (-z_x , -z_y , 1) се заменя с (z_x , z_y , -1) .
Тогава
Преминаване към двоен интеграл Int4

Неявно задаване

При неявно задаване на повърхността σ: F(x, y, z) = 0.
Нормален вектор към повърхността при неявното й задаване NormVect3

Тогава изходният интеграл придобива вида:
Преминаване към двоен интеграл Int5

Какво ще научим: Тройни интеграли - задачи Интеграли по повърхнина от първи род - задачи

Висша математика II част
Висша математика III част
Уравнения на математическата физика