Какво трябва да знаем:
Скаларно поле в равнината
Параметрично задаване на линия ( пиша )
Обикновени диференциални уравниния от I ред 		Към:
Векторен анализ

Векторно поле в равнината

Тази страница е изработена с помощта на Емне Мехмед и Жак Андонов

От мястото посока тръгва,
До друго място води тя.
Но стигна ли дотам,
Посока нова чака, знам!

Написал - Неизвестен


Нека на всяка точка A(x,y) от равнината Oxy е съпоставен вектор v с координати (P,Q) .

Векторът v , като и неговите координати P и Q са функции от x и y. v = ( P(x, y),Q(x, y) ).



v = v(x,y) се нарича векторно поле .
В това означение се има предвид, че векторът v е функция на две променливи - x и y
а не че има координати (x, y).
Векторът v има координати (P, Q), които от своя страна зависят от x и y.
То се представя чрез насочени отсечки в част от точките в равнината, с една разумна гъстота.
Насочените отсечки могат да се интерпретират като пренос на количество вещество.

Линията l (ел) се нарича линия на тока , ако във всяка точка от нея A(x, y) ,
допирателната към l е успоредна на вектора v(x,y) от векторното пространство.

На полетата - скаларни или векторни, се съпотавят линии.

Скаларно поле ⇒ лении на ниво
Векторно поле ⇒ линии на тока.


Ще покажем, че ако е зададено векторно поле v=v(x,y) , намирането на линиите на тока се свежда до решаване на едно обикновенно диференциално уравнение.
Нека линията на тока има параметрично уравнение: , където t е параметър.
Тогава тангентния вектор към линията l ще има координати и той трябва да е колинеарен на v(x,y) .
Или по-разширено:


Координатите на векторите τ и v трябва да са пропоционални.

Понеже dx = x'.dt и аналогично за dy, уравнението може да бъде записано и така:
или
Пример 1.
Скицирайте векторното поле, зададено с равенствата: v(x, y) = (P, Q) = (x, y).

Дефиницията на v може да се изкаже така:
"На точка с координати (x, y) се съпоставя вектор със същите координати."


Централно поле се нарича такова векторно поле, чиито вектори са колинеарни на радиус вектора r .
Пример 2. Скицирайте векторното поле, зададено с равенствата: v(x, y) = (P, Q) = (-y, x).

Дефиницията на v може да се изкаже така:
"На точка с координати (x, y) се съпоставя вектор с координати (-y, x)."

Пример 3.
Покажете, че ако две различни линии на тока на едно векторно поле v = v(x,y) се пресичат в точка A(x,y) то в тази точка те или се допират, или в нея векторът от векторното поле е нулев:

Пример 4.
Могат ли линиите на тока да бъдат линии на ниво на едно скаларно поле и
ако е така, как да намерим последното ?
Пример 5.
Как би изглеждало векторно поле, зададено с формулата v = (y, -x) / | r |, където r е радиус векторът.


Не забелязвате ли илюзорното усещане, че картинката е наклонена надясно?
Пример 6.
Скицирайте векторно поле, имащо свойствата:
1. Векторите му във всяка точка са перпендикулярни на радиус-вектора r.
2. Техните дължини намаляват с отдалечаването от началото на координатната система.
Каква би могла да бъде векторната функция, задаваща поле с горните свойства?



В тази формула r е радиус-векторът на точката ,
Ort( r ) е вектор, ортогонален на r със същата дължина, а | r | е дължината на r.
Без квадрата векторното поле би се сътояло от единични вектори и би изглеждало като от предния пример.
Пример 7.
Намерете линиите на тока на векторното поле v(x, y) = (-y, x).
Пример 8.
В това поле по-близките вектори до началото са с по-малки дължини.
Каква би могла да бъде формулата дефинираща полето?


Какво ще научим:
Градиент на скаларна проле