Какво трябва да знаем:    
Полиноми     Комплексни числа    
Основна теорема на алгебрата     Диференчни уравнения 		Числени методи на алгебрата

Метод на Бернули за намиране на най-големия по абсолютна стойност корен на полином

Станчо Вълканов Павлов
stancho_pavlov@yahoo.com


Да предположим, че x1 е реалена "нула" на полинома Полином --Pol1 и тя е единствената най-голяма по абсолютна стойност "нула" на P(x).
Не всички полиноми удовлетворяват това условие.
За P(x) искаме нещо твърде специално:
Да съществува такова реално x1 , за което P(x1)=0 и ако xk е корен на уравнението P(x)=0 различен от x1 (реален или комплексен) то | xk| е по-малко от |x1|.
Това условие се изпълнява за полином, за който всички "нули" са реални и различни.

Теорема (на Бернули - не можах да разбера кой точно)
Нека за "нулите" на полинома Полином --Pol1 е изпълнено условието: Има най-голяма по абсолютна стойност .
Дефинираме рекурентната редица
Рекурсивна редица --Recursion1
със зададени начални стойности y1 , y2 , ... yn (не всички равни на 0).
Тогава почти при всички случаи на избор на началните стойности (изключенията наистина са малко) Граница --Lim1
Доказателство:
Разглеждаме диференчното уравнение Диференчно уравнение --DiffEq1
еквивалентно на Диференчно уравнение -- DiffEq2
Неговите решения са от вида Решенията са линейни комбинации от степените на корените --Sol1 където xk k=1..n са решения на уравнението P(x)=0.
Да разгледаме частното Частно --Quot1
Заместваме yi и yi+1 с техните равни:
Заместване --Subst1

Да предположим, че x1 е най-голямата по абсолютна стойност нула на P(x) и тя е единствената с това свойство.
Следователно x1 е реално число ( комплексните нули са спрегнати).
Да изнесем пред скоби x1 и да извършим съкращението:
Изнасяне пред скоби и съкращаване --Reduction1

Но x1 е най-голямата по абсолютна стойност и при извършване на граничния преход получаваме, че границата Граница --Lim2 е най-големия по абсолютна стойност реален корен.
Ако така формираната редица не е сходяща то възниква подозрението, че най-големият по абсолютна стойност корен на P(x)=0 е комплексен.

Литература

Какво ще научим:
Метод на Берстоу за намиране на корен на полином - реален или комплексен                   		Числени методи на алгебрата