Доказателство:
Нека Zn* =
{r1 , r2 , … ,rφ(n) }
са всички остатъци при деление на n които са взаимно прости с n.
Те могат да се умножават по модул n, като произведението
rirj се заменя с остатъка от
делението на rirj с n.
При така дефинираното умножение Z*n придобива структурата на мултипликативна група ,
защото Zn* =
{xr1 , xr2 , … , xrφ(n) }
при всяко непроменящо се x от Z*n:
Ако
xr1 ≡ xr2 (mod n) то
n/x(r1 - r1)
(n/A означава n дели A ).
Понеже n е взаимно просто с x то n/ (r1 - r1), което е невъзможно.
Да умножим елементите на двете множества Zn* = xZn*:
След съкращаване на общия множител, който е взаимно прост с n, следва че
xφ(n) ≡ 1 (mod n) .
Може да се подходи и по друг начин:
Нека s е редът на елемента x от мултипликативната група xZn* .
Тогава xs ≡ 1 (mod n) .
Но редът на групата Zn*
е φ(n) и той се дели на реда на всеки неин елемент (s).
Тогава: x φ(n) = r sk ≡ 1 (mod n) .
Примери за пръстени и идеали - Назад