Примери за пръстени и идеали

Най-простият пример за комутативен пръстен с единица е множеството на целите числа Z.
Обратимите елементи на Z са Z* = {-1, 1}. Множеството на четните числа образуват идеал в Z , който се означава с 2Z .
Изобщо Z има безбройно много идеали от вида nZ - кратните на n цели числа.

Система и приведена система от остатъци

Важен пример за краен, комутативен пръстен е множеството от остатъци при деление на естественото числа n при n>1.
Този пръстен се означава с Z_n .
Множеството от обратимите елементи Z*_n се състои от остатъците, които са взаимно прости с n.
Те се наричат приведена система от остатъци. Броят на техните елементи се означава с φ(n) и се нарича функция на Ойлер.

Z*₆ = {1, 5} ⇒ φ(6) = 2.

Z*₇ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ φ(7) = 6.

Z*₄₂ = {1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41} ⇒ φ(41) = 12.

Ако p е просто число то φ(p) = p-1.

Теорема на Ойлер: Ако a е взаимно просто с n то a^φ(n) ≡ 1 (mod n) ?
В частния случай, при n просто число p получаваме:
Теорема на Ферма: Ако p е просто число и a е взаимно просто с p то a^p-1 ≡ 1 (mod p).
Теорема на Уилсън: Нека p е естествено число по-голямо от 2. p е просто тогава и само тогава, когато (p-1)! ≡ -1 (mod p) ?
Ще покажем, че за функцията φ(.) е изпълнено свойството φ(m.n) = φ(m).φ(n) ако m и n са взаимно прости. Това свойство се нарича мултипликативност. ?

Полиноми над поле

Нека K е пръстен.
С K [x] ще означаваме множеството от полиноми с променлива и коефициенти от пръстена K. Старшият коефициент на полинома: f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +… a_n-1x+a_n се предполага различен от нула.
Добре известен е пръстена Z [x] .
Един полином над пръстена K[x] се нарича неприводим (неразложим) , ако не може да се разложи като произведение на два полинома от със степени по-големи от нула.
Признак за неразложимост в Z [x] е признакът на Айзенщайн:

Ако за коефициентите на полинома f(x) е изпълнено, че съществува просто число p, такова, че
p е делител на всички коефициенти на полинома f(x) без старшия коефициент и
свободния член f(x) не се дели на p² , то f(x) е неразложим. ?

Какво ще научим?