Какво трябва да знаем:
Числа
Формули за съкратено умножение
Зависимости в правоъгълния триъгълник 		Към:
Математиката в училище

Средно аритметично, средно геометрично и неравенство между тях


Средно аритметично на две числа a и b се нарича числото
Ако двете числа a и b са нанесени върху числовата ос, средното им аритметично се представя с средната точка между тях.

Аритметичното намиране на средното аритметично се основава на действията събиране и деление на две.
Средното аритметично на числата 2 и 3 е
Геометричното му намиране се основава на намирането на средата на отсечка AB. Начертават се две пресичащи се в точки P и Q окръжности с центрове A и B. След това се построява правата PQ и се намира пресечната й точка - S с правата AB.
Точка S е среда на AB.
Една друга възможност е върху произволна права и точка O от нея да се нанесът в противоположни посоки величините a и b.
Да се намери средата на отсечката AB – точка S. Тогава разстоянието AS е средното аритметична на a и b.
Каква е дължината на OS?

Средно геометрично на две положителни числа a и b се нарича числото
Аритметичното намиране на средното геометрично се основава на действията умножение и коренуване.
Средното геометрично на числата 4 и 9 е:      
Средното аритметично на същите две числа е . Това е едно по-голямо число.
Геометричното намиране на средното геометрично се основава на зависимостите между елементите в правоъгълния триъгълник.
Върху произволна права и точка от нея се нанасят в противоположни посоки величините a и b.
Построява се окръжност с диаметър отсечката AB. Това става като се намери средата S на AB и се построи окръжност с център S е радиус SA. След това, от точка O се издига перпендикуляр до пресичането с окръжността в точка C. Величината OC = h е средно геометрично на величините a и b.
Понеже в правоъгълния триъгълник медианата CS е половината от хипотенузата AB то
От правоъгълния триъгълник COS с катет OC и хипотенуза CS следва че 8 , от което правим извода, че средното геометрично на две положителни числа е по-малко от средното аритметично.
Равенство се постига когато точките O и S съвпадат. Това се случва при a=b.
Неравенството може да се покаже и по алгебричен начин.
Ще считаме числата a и b са неотрицателни.
Тогава можем да положим a = x2 и b = y2 . Ще считаме числата x и y за неотрицателни x,y ≥0 .
Трябва да докажем неравенството
Освобождаваме се от знаменателя.
Прехвърляме 2xy от другата страна.
Използваме формулата за съкратено умножение и достигаме до очевидното неравенство (x-y)2 ≥0. В него равенство се получава при x=y т.е при a=b.

Неравенството може да се запише в еквивалентната форма , вярно за произволни неотрицателни числа.
Неравенството между средно аритметично и средно геометрично има и очевидно геометрично доказателство от вида "Гледай".

( a+b )2 ≤ 4ab

За всяко положително число x е изпълнено неравенството

Какво ще научим:         Средно хармонично