Какво трябва да знаем:       Елементарни функции и техните графики       Уравнение на окръжност
Уравнение на равнина през точка, успоредна на два вектора       Отрезово уравнение на права
Отрезово уравнение на равнина       Сферични координати       Функции на две променливи 		Висша математика II част

Част от изображенията са заимствани от: http://www.pm298.ru/2pov3.php

Повърхнини – уравнения и графики

Параметрично, явно и неявно уравнение на повърхнина

Повърхнината Σ в пространството е двупараметричен геометричен обект. Тя може да се зададе чрез следните три вида уравнения:
  1. Параметричен вид Параметрично задаване на повърхнина Fr1         Параметрите са (u, v) а координатите (x,y,z) са функции от тях.
  2. Явен вид     Σ : z = z(x, y) .
  3. Неявен вид Σ : F(x, y, z) = 0
    Често това уравнение се записва и във вида Σ : F(x, y, z) = C , където C е константа.
    Разбира така: Ако са дадени (x, y) = (x0, y0), от уравнението Σ : F(x0, y0, z) = C с неизвестно z намираме едно или няколко z 0 .
    Тогава точките (x0 , y0 , z0 ) са от повърхнината Σ.

Равнина

Неявеният вид на уравнението на равнина е   Σ : ax + by + cz + d = 0
Удобно е да се представи, ако е възможно във вида Отрезово уравнение на равнина Fr8 , уравнение, което се нарича отрезово.
(a, b, c) са отрезите по координатните оси.
Отрезово уравнение на равнина Fig1
Равнините, успоредни на координатните равнини Oxy, Ozx Oyz имат съответно уравнения z = C, y = C, x = C
Хоризонтална равнина Fig2 Равнина, успоредна на Oyz Fig3 Σ : x = C Равнина, успоредна на Ozx Fig4 Σ : y = C
Параметричното уравнение на равнина е от вида Параметрично уравнение на равнина Fr9
Равнината Σ минава през точка A с координати (a,b,c) и е успоредна на векторите p и q с координати съответно (p1 , p2 , p3) и (q1 , q2 , q3).

Сфера

Сфера с център началото на координатната система и радиус R се задава неявно с уравнението Σ : x2 + y2 + z2 = R2
Нейното явно задаване е         Явно задаване на сфера Fr11         Знакът ” +” съответства на горната полусфера а ”–” на долната.
Сфера с център O Fig5
Сфера с център Q(a,b,c) има уравнение:     Σ : (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Сфера с център Q Fig6
Параметричното уравнение на „централна” сфера с радиус R е: Параметрично уравнение на сфера Fr14
Параметрите имат познатия от сферичните координати геометричен смисъл. Параметрично задаване на сфера Fig7

Конус


Нека е дадена една крива в пространството и точка V, нележаща на кривата. Тази точка ще наричаме връх на конуса.
Повърхнината, образувана от правите, прекарани през точките от кривата и върха V се нарича конична повърхнина.
Конус - дефенеция Fig8
Кривата се нарича управителна за конуса а правите през върха V – образувателни.
Ако управителната крива е окръжност и V лежи на перпендикуляра на равнината на окръжността, издигнат от нейния център се получава обикновен прав кръгов конус. В този случай, височината на конуса се нарича негова ос (на въртене).
Прав кръгов конус Fig9
Правият кръгов конус с ос Oz и връх O има неявно уравнение         Неявно и явно уравнение на конус Fr15
Знакът ” +” съответства на горната конична повърхнина а ”–” на долната.
Конус Fig10
Конус с ос Oy Конус с ос Oy Fig11 Конус с ос Oy

Цилиндър


Нека е дадена една крива в пространството и едно направление. Цилиндър - дефиниция Fig12
Повърхнината, образувана от успоредните прави на направлението, прекарани през точките от кривата се нарича цилиндрична повърхнина.
Кривата се нарича управителна за цилиндъра а правите, успоредни на даденото направление – образувателни.
Управителна крива и образуващи Fig14
Ако управителната крива е окръжност и направлението е перпендикулярно на равнината на окръжността се получава обикновен, прав цилиндър.
В този случай, правата, прекарана през центъра на окръжността, успоредна на образутелните се нарича ос (на въртене) на цилиндъра.
Прав кръгов цилиндър Fig15
Σ : x2 + y2 = 1

Тук управителната крива е окръжността с уравнение x2 + y2 = 1, лежаща в равнината Oxy.
Ако управителната крива на един цилиндър лежи в една от координатните равнини Ouv, където u и v са две различни координатни оси от тройката (x, y, z) и има уравнение f(u,v) = 0 то такова е и уравнението на правия цилиндър с образувателни, успоредни на третата координатна ос.
Например цилиндърът с управителна крива окръжността с уравнение   y2 + z2 = 4   , лежаща в равнината Oyz има същото уравнение.
Цилиндър с ос Ox Fig16

Елиптичен параболоид

z = x2 + y2 Елиптичен параболоид Fig17
Прилича на чаша с безкрайна стена. Името на повърхнината се състои от две части –прилагателно и съществително. Прилагателното се определя от вида на сечението на повърхнината с една хоризонтална равнина z = z0 - в случая елипса. Съществителното се определя от вида на сечението на повърхнината с една вертикална равнина например x = x0 - парабола.
Уравнението на един „обърнат” елиптичен параболоид и повдигнат на разстояние a e:   z = a - x2 - y2
Обърнат елиптичен параболоид Fig18

Елиптичен хиперболоид ( двуполюсен )

  x2 + y2 - z2 = -1 Елиптичен хиперболоид ( двуполюсен ) Fig19

Елиптичен хиперболоид ( еднополюсен )

  x2 + y2 - z2 = 1 Елиптичен хиперболоид ( еднополюсен ) Fig20
При хоризонталното сечение z = z0 получаваме окръжността с уравнение   Σz = z0 : x2 + y2 = 1
Изобщо при z = z0 се получава хоризонтална окръжност ( частен случай на елипса )с уравнение:   Σz = z0 : x2 + y2 = 1 + z02 ,
откъдето идва и прилагателното елиптичен.
При вертикалното сечение y = y0 получаваме хиперболата:     Σy = y0 : x2 - z2 = 1 - y02

Хиперболичен параболоид (седло)

  Σ : z = x2 - y2 Хиперболичен параболоид - седло Fig21
Ако изберем едно хоризонтално сечение z = z0 получаваме хиперболата:     Σz = z0 : x2 - y2 = z0
При z = 0 се полачава двойката прави y = ± x .
При вертикалното сечение y = y0 получаваме параболата:   Σy = y0 : z = x2 - y02
Парабола обърната нагоре и свалена на разстояние   y02

Какво ще научим:         Двойни и тройни интеграли         Повърхнини от втора степен