Какво трябва да знаем:       Елементарна дължина       Функция на две променливи - частни производни
Векторно произведение       Якобиан       Първа квадратична форма       Тъждество на Лагранж
Висша математика II част
Векторен анализ

Елементарна площ

Всяка точка в пространството определя своя радиус-вектор r. Неговите координати (x,y,z) са равни на тези на точката.
Нека координатите (x,y,z) зависят от параметрите (u,v).
При изменение на (u,v) радиус-векторът r описва една повърхнина - сигма (σ).
Радиус-векторът на точките от повърхността σ имат координати, зависещи от параметрите (u,v) чрез (x,y,z):
σ: r = r(u,v) = r(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

Частните производни на функциите - числови или векторни ще означаваме със символа функцията, снабден с индекс,
показващ променливата по която се диференцира.
Определяме частните производни на векторната функция r спрямо u и v:
PartDer1

Тогава елементарните тангентни вектори по координатните линии u и v са
PartDer2.GIF
Елементарната площ е вектор, равен на векторното произведение на dru и drv .
VectPr1
Fig1

Векторът на елементарната площ зависи от точката по повърхността σ.
Той е перпендикулярен на σ в съответната точка.
Неговата дължина е равна на елементарното лице: VectPr2
Използвайки Якобиана можем да запишем: Векторът на елементарната площ LVectPr3
От тъждеството на Лагранж ( (axb)2 = a2b2 - (ab)2 ) и първата квадратична форма за дължината на вектора на елементарната площ получаваме:
Елементарна площ dsigma
Скаларен квадрат на вектора на елементарната площ VectPr4
Прилагаме първата квадратична форма :
Първа квадратична форма VectPr5

Ще намерим вектора на елементарната площ на явно зададена повърхнина σ: z = z(x,y).
Параметрите в този случай са (x,y).
VectPr6
Ако се налага смяна на ориентацията , векторът (-zx , -zy , 1) се заменя с (zx , zy , -1).
ElSurf1

Ще намерим вектора на елементарната площ на неявно зададена повърхнина σ: F(x, y, z) = 0.
ElSurf2


Какво ще научим:
Интеграл по повърнина от първи род (по лице) - пояснения към задачите
Интеграл по повърнина от втори род (по координати) - пояснения към задачите