Всяка точка в пространството определя своя радиус-вектор r.
Неговите координати (x,y,z) са равни на тези на точката.
Нека координатите (x,y,z) зависят от параметрите (u,v).
При изменение на (u,v) радиус-векторът r описва една повърхнина - сигма (σ).
Радиус-векторът на точките от повърхността σ имат координати,
зависещи от параметрите (u,v) чрез (x,y,z):
σ: r = r(u,v) = r(x(u,v),y(u,v),z(u,v))
Частните производни на функциите - числови или векторни ще означаваме със символа
функцията, снабден с индекс,
показващ променливата по която се диференцира.
Определяме частните производни на векторната функция r спрямо u и v:
Тогава елементарните тангентни вектори по координатните линии u и v са
Елементарната площdσ е вектор, равен на векторното произведение на
dru и drv .
Векторът на елементарната площ зависи от точката по повърхността σ.
Той е перпендикулярен на σ в съответната точка.
Неговата дължина е равна на елементарното лице:
Използвайки Якобиана можем да запишем:
От тъждеството на Лагранж
( (axb)2 =
a2b2 - (ab)2 )
и първата квадратична форма за дължината на вектора
на елементарната площ получаваме:
Прилагаме първата квадратична форма :
Ще намерим вектора на елементарната площ на явно зададена повърхнина σ: z = z(x,y).
Параметрите в този случай са (x,y).
Ако се налага смяна на ориентацията , векторът
(-zx , -zy , 1) се заменя с (zx , zy , -1).
Ще намерим вектора на елементарната площ на неявно зададена повърхнина
σ: F(x, y, z) = 0.
Какво ще научим:
Интеграл по повърнина от първи род (по лице) - пояснения към задачите
Интеграл по повърнина от втори род (по координати) - пояснения към задачите
