Какво трябва да знаем:        
Оскулачна окръжност         Естествена параметризация на крива 		Към:
Диференциална геометрия

Кривина на параметрично зададена плоска крива

Всяко движиние има своя посока и център.
Написал - Неизвестен

  За определяне на кривината на крива в нейна точка има два подхода.
При първият кривината се изразява като граница на отношението на ъгъла между допирателните към кривата в две съседни точки към дължината на дъгата между тях.
Промяната на ъгъла между допирателните прави върху дължината на дъгата --Gr1         Определение за кривината –CurvDef1
Обикновено кривината се представя като неотрицателна величина. При параметрично зададена крива ъгълът, който сключва допирателната към абцисната ос е       Ъгълът между допирателната и хоризонта –Angle1 .
Ще намерим пълният диференциал на ω по формулата       Диференциалът на ъгъла между допирателната и хоризонта –DeOmega1 .      
Частни производни –PartDer1
Често срещаният израз Квадратът на дължината на допирателния вектор спрямо произволен параметър –S^2_1 ще означаваме с S2 .
Понеже         Елементарна дъга --ElArc1         получаваме, че кривината е       Формула за кривината –CurvFrm1
Другият подход е векторен.
Кривината е дължината на производната на допирателните единични вектори към кривата спрямо естествения параметър на кривата.
Два „последователни” единични вектори по допирателната -- Gr2         Производната на единичния допирателен вектор спрямо естествения параметър –dtDivDs1

За намиране на производната на Единичен вектор по допирателната --Unit1 спрямо параметъра t ще използваме формулата за производна на произведение на скалар с вектор: Производна на произведение на скаларна функция с векторна --DerScalVect1     Получаваме, че         Производната на единичния допирателен вектор спрямо естествения параметър –dtDivDs2        
Производната спрямо естествения параметър –dtDivDs3
Преобразуване –Transformation1
В първото събираемо съкращаваме на 2.
След това, в сумата изнасяме         Израз --Expression1         пред скоби:
Преобразуване – Transformation2
В квадратните скоби получаваме за двете координати
Преобразуване – Transformation3
Окончателно получаваме, че
Производната спрямо произволен параметър -–Div1 Производна на единичния допирателен вектор спрямо естествения параметър --–dtDivDs5
Дължината на този вектор е кривината
Формула за кривината – CurvFrm2

Кривината в Декартови координати се задава с формулата         Кривината в Декартови координати – CurvFrmDec1
Кривината в полярни координати е         Кривината в полярни координати – CurvPolar1        
Първите и вторите производни на параметрично зададена крива –Der_3_1
Формула за кривината на параметрично зададена крива –Curv_3_2
В полярни координати нещата изглеждат така. –Frm_3_3

Реципроцната стойност на кривината k е радиусът на оскулачната окръжност - R         Радиус на кривината –RadCurv1
Векторът         Вектор – перпендикулярен на допирателния –TangentVect1         е перпендикулярен на допирателния вектор         Допирателен вектор –TangentVect2
Той се получава от t чрез завъртане на 90o срещу часовата стрелка. Изразът Израз --Expression2 е числителят на производната Определяне на знакът на кривината –Expression3
Освен това         Ъгълът между допирателната и хоризонта –Angle2 .
Ако ω расте нормалата е наляво спрямо допирателния вектор. Иначе – надясно.
Тангенциалният вектор и неговият нормален. Кривината е положителна! --Pict1         Тангенциалният вектор и неговият нормален. Кривината е отрицателна! --Pict2
Така че центърът на кривината е
Векторно уравнение на еволютата –EvolEqVect1
където       Единичен вектор по нормалата –Unit2         е единичния вектор по         Вектор по нормалата –Vect1         а r е радиус-векторът по кривата.
Центровете на кривината на една крива образуват нова крива, наречена еволюта на първата.
Уравнението на еволюта (ξ, η) = (ξ, η)(t) на параметрично зададена равнинна крива (x, y) = (x, y) (t) е:       Уравнение на еволютата –-EvolEq1
Еволютата в Декартови координати има уравнение:       Уравнение на еволютата в Декартови координати –EvolEqDec1


Какво ще научим:    
Еволюти на класически криви 		Диференциална геометрия