Какво трябва да знаем: k-форма, приложена в точка към набор от k вектора дава число!       Детерминанти       Векторен анализ
Диференциална геометрия

Първо умножаваме и после изчисляваме или първо изчисляваме после умножаваме:
(α Λ β)(v,w) = α(v) ?♣? β( w)

Отвориш ли тръпнейки плика и цветен
И лъхне ли дъх мразовит, ...
Христо Смирненски "Горчиво кафе"

Намирането на стойностите на форми е във връзка с техните външни произведения.
Нека φ1 и ψ 1 са 1-форми и v1 и v2 са два вектора с начало в точката p.
Можем ли да изразим (φ1 Λ ψ1)( v1, v2) чрез φ1 (v1) и ψ1 (v2) ?
(φ1 Λ ψ1) ( v1 и v2 ) може да се намери чрез следната последователност от действия:
1. Умножаваме външно двете форми и намираме произведението φ1 Λ ψ1 .
2. Изчислява се това произведение в точка p.
3. Намира се неговата стойност за двойката вектори V2 = (vl, v2).
Да видим как става това на практика:
φ1 = α1dx1 + α2dx2 + ...+ αndxn
ψ1 = β1dx1 + β2dx2 + ...+ βndxn

αi и βi са функции на (x1, x2, .. ,xn ) .
Умножаваме: 1-форма умножена по 1-форма _1Frm_1Frm
Това произведение трябва да се изчисли в точка p. Получава се 2-форма с постоянни коефициенти.
За двойката вектори v1 и v2 с координати v1j и v2j j=1..n нейната стойност е:
_1_1v1v2_1
От друга страна, имайки предвид противоразметителността е редно да приемам че:
От друга страна _1_1v1v2_2

Така получаваме тъждеството:
тъждество

Изобщо, произведението на k на брой едно-форми е k-форма.
Неговата стойност за векторите vi се задава с детерминантата:
произведението на k на брой едно-форми _k_1vk1.GIF ?
Формулата за умножаване на две форми от ред k и l (ел) е такава:
Формулата за умножаване на две форми от ред k и l _kMult_lVk1
където Ik = (i1, i2,… , ik) и Jl = (j1,j2,… , jl) (ел) са подредени мултииндекси – непресичащи се, подредени извадки от (1, 2, ...,k+l).
Сумирането се извършва по всички възможни пермутации (Ik , Jl ) от ред k+l, удовлетворяващи горните условия.. sign(Ik , Jl ) е знак –плюс или минус. Плюс- ако пермутацията (Ik , Jl ) е четна и минус –иначе.
Сега имаме два начина да намираме стойността на произведението на две форми φk и ψl за набора от вектори
vk+l = (v1 , v2 ,…, vk , vk+1 ,..., vk+l) = (Vk , Vl ) приложени в точка p.
Единият е да намерим външното произведение φk Λ ψl в точка p и след това стойността му за набора вектори Vk+l .
Другият е да използваме непосредствено формулата
Същата формула с по-кратки означения _kMult_lVk2
Доказателството, че двата подхода са еквивалентни е едно предизвикателство.
Да приложем наученото за изчисляване на стойността на външното произведение на формите φ1 (едно) и ψ2 от R3,
приложено към наборът от вектори V3 = (v1 , v2 , v3) .
Ще използваме стандартните означения dx, dy, dz .
Ще пишем dxdy вместо dxΛdy .
Координатите на векторите vi ще означаваме с ( vix , viy , viz ) .
Нека
φ1 = p1dx + p2dy + p3dz
ψ2 = q1dydz + q2dzdx + q3dxdy

Прилагаме първия подход, като в началото намираме произведението φ1Λψ2 и след това неговата стойност за набора V3 = (v1 , v2 , v3). ?
Ако сме го направили да приложим и втория подход. ?

Какво ще научим:    
Диференциалните форми са дефинирани върху тангенциалното пространство на повърхнина      
Висша математика II част
Висша математика III част
Уравнения на математическата физика