Бутаме напред точки и вектори.
Дърпаме назад функции и форми.
— Хей, другарю, ти какво решил си с чука!
С тоя трясък и искри?
— Аз ли? Път ще се прокара, друже, тука,
нов път в тези канари!
Христо Смирненски „Каменарче”
Съдържанието на тази глава може да се обобщи с девиза който е в заглавието.
Ето още един девиз, който също трябва да се приеме със сърцето а не с разума:
Точките и допирателните вектори са ковариантни.
Функциите и диференциалните форми са контравариантни.
|
Нека k е гладка функция от една повърхнина M в друга - N.
Както виждате пейзажа е доста общ, но ние ще се ограничаваме обикновено с преход от една координатна система в друга.
Предполагаме, че M и N са отворени пространства в Rn .
Така че имаме следната обстановка:
Бутането е по-лесно за разбиране и затова ще започнем с него.
Ако E е елемент, свързан с M то бутнатият E е елемент от същата природа, свързан с N.
Ще го означаваме с k*(E).
Бутането е в правилната посока, същата както тази на k – от M към N.
Да разгледаме първо бутането напред на точка.
Ако p е точка от M то бутнатата напред точка p е точка q от N.
Ще я означаваме с k(p) .
Така че k*(p)= k (p).
Или бутнатата точка p е просто нейния образ при изображението k.
Сега нещо по-интересно – допирателните вектори.
Нека v е допирателен вектор към M в точкка p.
Неговият, бутнат - w е допирателен вектор към многообразието N в точката q=k*(p).
Но за да бъдем по-точни трябва да си припомним какво означава допирателен вектор в точка p към повърхнината M.
Нека l: r = r (t) е крива, лежаща на повърхнината M и минаваща през точка p.
Кривата е параметризирана с параметър t, Точката p се получава при t равно на 0: p = r (0) .
Точките от l се задават с радиус-вектори.
Допирателен вектор v към кривата се определя като производната на радиус-вектора r (t) спрямо t.
Този вектор ще бъде и допирателен към повърхнината M.
Бутаме напред точките от кривата l: r = r (t).
Получава се крива от M, минаваща през точката q и параметризирана със същия параметър t.
Производната на k(r (t)) спрямо t, отчетена при t=0 е добре определен вектор.
По опредееление този вектор ще бъде бутнатия вектор w = k*(v).
Да изразим описаното определяне на ковариантния вектор по-строго:
Нека v е допирателен вектор към M в точка p, задеаден с равенството
v= r/(t), където r(t) е гладка крива с p = r(0).
Тогава бутнатият напред v е векторът w,
допирателен към N в точка q = k*(p) зададен с w = [ (kr)(t) ]/ при t=0.
Където kr е композицията kor = k(r(t)).
С други думи ако е даден вектор v от M намираме крива l: r =r (t) от M,
минаваща през точка p = r (0), за която v е допирателен вектор.
Намираме образа на кривата l и определяме допирателния вектор [ (kr)(t) ]/ при t=0 .
Това е образът на v.
Ето символната дефиниция:
Нека k е изображение от единичния кръг в равнината (Oxy) това е повърхнината М в горната полусфера
.
На точка p(x,y) от M се съпоставя точката q с координати
.
Сега, след като сме определили k да изберем една линия l в равнината (Oxy) и да намерим нейния образ при k - k(l).
Нека линията l е с параметрично уравнение x(t) = y(t) = t.
Той е кривата
Тази крива е мердианът през точката с координати (1,1) в равнината (Oxy).
Да определим един вектор, допирателен към кривата l - v.
Той ще бъде допирателен и към повърхнината (Oxy).
Ще намерим неговия образ k*(v) .
Допирателните вектори към l зависят от t и имат координати (x/(t) , y/(t) ) = (1, 1).
Всеки от тях е приложен в точка, която също зависи от p=(t,t).
k*(p) = q с координати
.
.
Образът на вектора v зависи от точката в която е приложен.
Например ако p има координати (0,5 ; 0,5) то
,
както е показано на последния чертеж. В периферията на окръжността образът на v не е дефиниран.
Сега да преминем към дърпането назад.
Обектите към които можем да прилагаме това движение са функции и диференциални форми, дефинирани в N.
Те се наричат контравариантни вектори.
Да дръпнем назад една функция.
Нека f е функция в N с област от заначенията в реалните числа: f : N→R .
Тогава k*(f) е функция в M също с област от заначенията в реалните числа: k*(f) : M→R.
Ако p е точка от M и q е нейният образ при бутането напред ( q = k*( p) ) то k*(f)(p) = f(q) или
k*(f)( p )=f( k*( p) ) .
Забележка 1.
k*(p) е просто k(p), така че можем да запишем k*(f)( p )=f( k ( p) ).
Забележка 2.
k*(f) е композицията f ° k.
Наистина има смисъл! Искаме да дефинираме функция в M имайки такава в N.
Трябва да определим нейната стойност във всяка точка p от M.
Дефинираме я така: p → f(k(p)) .
Започваме от точка p от M и функция f : N → R.
Имаме два начина да дефинираме функция в M.
Първият е да бутнем напред p, да определим стойността на f в q=k(p) и това да е стойността на функция в p.
Другият начин е да дръпнем назад f и да определим стойността на дръпнатата фунция в p.
Равенството k*(f)( p )=f( k*( p) ) показва, че двата начина водят до един и същи резултат.
Забележка 3.
Ако някой си мисли, че можем да бутаме напред функции, дефинирани в M греши.
Нека f е функция в M. Искаме да я бутнем до функция в N.
Ако q е точка от N как да дефинираме k*(f) в q?
Ако q=k(p) можем да се опитаме като положим k*(f)(q)=f(p) но q може да не е от областта на значенията на k.
Може и q да има два първообраза. Така че тази идея не е продуктивна.
Имаме намерение да дърпаме назад освен функции и диференциални форми.
Ще спазваме същата стратегия, така че да спрем за момент и да обмислим казаното.
Да дръпнем назад 1-форма, дефинирана в N.
Нека φ φ е 1-форма в N. Тогава k*(φ) е 1-форма в M, която се дефинира с равенството
k*(φ)(v)=φ(k*(v)) .
Да забележим, че 1-формите са функции от допирателен вектор и че отново, както при 0-формите ние ги дърпаме назад,
като бутаме напред вектора, за който искаме да ги изчислим.
k*(φ) са функции от допирателните вектори към M, чиято стойност в допирателния вектор v към M се
определя като φ(k*(v)) , което наистина има смисъл, като бутнем напред
v до k*(v),
получаваме е допирателен вектор към N, където е дефинирана 1-формата φ.
Като можем вече да дърпаме назад 1-форми можем да дадем дефиниция за дърпане назад на s-форми:
Нека φ е s-форма на в N.
Нека още (v1, v2, v3, ...,
vs) е набор от допирателни вектори в M, приложени в една точка.
Тогава k*(φ)(v1, v2, v3, ...,
vs)= φ( k*(v1), k*(v2),
k*(v33), ..., k*(vs))
Да се върнем отново към 1-формите.
От дефиницията се вижда, k*(φ) е функция, дефинирана върху s-торка от допирателни вектори към M.
Но трябва да се покаже нещо повече, че k*(φ) е диференциална 1-форма и като такава тя
трябва да е линейна функция от своя аргумент.
Не само това е вярно. Ще покажем че и бутнането напред на векторите и дърпането назад на 1-формите са линейни функции.
Ето твърдението:
1. Нека v и w са допирателни вектори към N в точка p и нека a и b са скалари.
Тогава
k*(av + bw) = ak*(v) + bk*(w)
Бутането напред е линейна функция на вектори.
2. Нека φ и ψ са две 1-форми в N и a и b са скалари.
Тогава
k*(aφ + bψ) = a k*(φ) + b k*(ψ)
Дърпането назад е линейна функция на 1-форми.
3. Нека v и w са два допирателни вектора към M в точка p и нека φ е 1-форма в N.
Тогава
k*(φ )(av + bw) =
ak*(φ)(v) + bk*(φ)(w)
Дръпнатата назад 1-форма е линейна функция на допирателните вектори в M.
Доказателство на 1.
Допирателния вектор v към M в точка p се определя от крива в r = r(t) , минаваща през p ( p= r(0) ) за която
v = r1/(0).
Подобно се определя и векторът w.
Векторът av + bw се определя от трета крива r =r3(t) ,
за която p=r3 (0) и av + bw = r3/(0).
Доказателство на 2.
Нека v е вектор от N.
k*(aφ + bψ)(v) = (aφ + bψ)( k*v)
по дефиниицията на дърпането назад на диференциална форма.
(aφ + bψ)( k*v) =(aφ)( k*v)+ (bψ)( k*v)
по дефиниицията за сума на две форми.
(aφ)( k*v)+ (bψ)( k*v)= a(φ)( k*v)+ b (ψ)( k*v)
Последното следва от умножение на форма по пункция.
a(φ)( k*v)+ b (ψ)( k*v)=a k*(φ) + b k*(ψ)
Отново от дефиниицията на дърпането назад на диференциална форма.
Доказателство на 3.
k*(φ)(av + bw) =
φ(k*(av + bw)) = φ(ak*(v) + bk*(w))
Първото равенство следва от дефинницията на дърпане назад на диференциална форма а второто от линейността на бутането
напред на вектори.
φ(ak*(v) + bk*(w)) =
aφ(k*(v)) + bφ(k*(w))
Равенството следва от това, че φ е линейна функция.
aφ(k*(v)) + bφ(k*(w)) =
ak*(φ)(v) + bk*(φ)(w)
А последното следва от дефиницията на дърпането назад на 1-форма.
Твърдение
Нека φ е s-форма в N.
Тогава дръпнатата назад s-форма в M е многолинейна и противоразместителна върху допирателните вектори на M.
Доказателството на многолинейността малко се отличава от линейността от предното твърдение.
За противоразместителността трябва да докажем, че промяната на местата на два аргумента в k*(φ)
променя знака на k*(φ).
Ще докажем това за φ - една 2-форма.
Доказателство:
k*(φ)(v , w) =
φ(k*(v) , k*(w))
от дефиницията на дърпането назад на 2-форма.
φ(k*(v) , k*(w)) =
- φ(k*(w) , k*( v))
следва от това, че 2-формата променя знака си при смяна на местата на два аргумента.
- φ(k*(w) , k*( v)) =
- k*(φ)( w , v)