Какво трябва да знаем:
Операции с множества 		Съдържание на висша математика I част

Свойства на операциите с множества


Ще покажем свойството:
(AÇB)ÈC = (A È C) Ç (B È C)



Доказва се чрез достатъчно дълго съзерцаване на горната диаграма.
Ето по-подробни обяснения.
Означаваме малки букви в скоби отделните подмножества.
Например (а) съдържа елементите, принадлежащи на А и не принадлежащи на B и на C.
Така, че (a) = (A\B)\C

(abc) = AÇBÇC

Получаваме последователно:
(AÇB)ÈC =
( (ab) È (abc) ) ÈC =
(ab) È (abc) È (ac) È (bc) È (c).

(A È C) Ç (B È C) =
((a) È (ab) È (abc) È (ac) È (bc) È (c) ) Ç ( (b) È (ab) È (abc) È (bc) È (ac) È (c)).
= (ab) È (abc) È (ac) È (bc) È (c)
Така, че (A Ç B)È C и (A È C) Ç (B È C) се състоят от едни и същи елементи.
Универсален подход е да се разгледат всички възможности за принадлежност на един елемент към всяко от участващите в тъждеството множества.
Това става, като на елемента x се съпоставя 1 по отношение на множеството A, ако x принадлежи на A и 0 в противоположния случай.

№ A B C A Ç B (A Ç B) È C A È C B È C (A È C) Ç (B È C)
1 0 0 0 00 0 0 0
2 0 0 1 01 1 1 1
3 0 1 0 00 0 1 0
4 0 1 1 01 1 1 1
5 1 0 0 00 1 0 0
6 1 0 1 01 1 1 1
7 1 1 0 11 1 1 1
8 1 1 1 11 1 1 1

Съвпадението на колоните (A Ç B)È C и (A È C) Ç (B È C) доказва тъждеството

(A Ç B)È C = (A È C) Ç (B È C)
- диструбитивност на обединението спрямо сечението.


Ако използваме означенията "+" и "." получаваме тъждество (A . B) + C = (A+C).(B+C), което не е вярно при числата.
Така, че умната!
Ето и симетричното тъждество:

(A È B)Ç C = (A Ç C) È (B Ç C).

Пожелаваме ви успех при неговото доказателство.
Важни са законите на де Морган.

(AÈB)c = AcÇBc и (AÇB)c = AcÈBc .

Ето я диаграмата:


Ето го и табличното доказателство на първото тъждество: (AÈB)c = AcÇBc
№ A B A È B (AÈB)c
Ac Bc AcÇBc
1 0 0 0 1 1 1 1
2 0 1 1 0 1 0 0
3 1 0 1 0 0 1 0
4 1 1 1 0 0 0 0

Съвпадението на колоните (AÈB)c и AcÇBc доказва тъждествто.
Второто равенство от законите на де Морган го оставяме на трудолюбивия читател.

Какво ще научим:
Логически операции
Декартово произведение