Формула на Гибс - спрегнат базис
Ти не си образа свой.
Ти си образът на своя образ.
Написал - Неизвестен
Да разгледаме формулата:
В смесеното произведение (xbc) участва векторното произведение [bc].
Да означим вектора с a* вектора
.
Разместваме подходящо векторите в смесените произведения във формулата
Извършваме и останалите полагания:
Обръщаме внимание, че векторите във второто равенство не са в естествения ред!
Базисът a* b* c* се нарича спрегнат базис на базиса a b c .
Така получаваме представянето на произволен вектор x, наречено "Формула на Гибс".
Формула на Гибс
|
Спрегнатият вектор на a - векторът a* е перпендикулярен на двата
несъответни нему вектори от базиса a b c:
защото векторът [bc] = b x c
е перпендикулярен на своите множители.
Скаларното произведение на спрегнатия вектор на a с a е равно на единица.
Ще докажем, че:
Ще използваме формулата за произведение на две смесени произведения:
Тогава:
Ще изразим вектора
чрез векторите a b и c .
Сега ще използваме формулата за четворно векторно произведение
(a x b) x (x x y) =
(axy)b - (bxy)a.
Получаваме:
Това равенство показва, че спрегнатия базис на базиса a* b* c*
съвпада с a b c.
Джошуа Уилярд Гибс (1839-1903)
Американски физик-теоретик. Създател на термодинамиката и статистическата механика.
Член на Националната Академия на САЩ и на Американската Академия на
науките и изкуствата в Бостън.
Казал е: "Математиката е език".