Образ и първообраз на множества при дадено изображение

Какво трябва да знаем:
Операции с множества
Изображение (Функция)
Сложна функция ( суперпозиция )

Образ и първообраз на множества при дадено изображение

Нека f е изображение от множеството X в множеството Y.
Ако X₁ е подмножество на X образ на X₁ е множеството Y₁ от тези елементи y от Y ,
за които съществува x от X₁ такова, че f(x) принадлежи на Y₁ . Y₁ се означава с f(X₁) .
Т.е. f(X₁) е множеството на образите на елементите от X₁.

Ясно е, че

Образът на X при изображението f се означава с Im(f).

Ако Y₁ е подмножество на Y първообраз на Y₁ е множеството X₁ от тези елементи x от X , за които образът f(x) принадлежи на Y₁ .
X₁ се означава с:

Ясно е че,

. В сила са и отношенията:

Теорема: За образите на множества са сила отношенията:

Доказателство на 1:
Ще докажем първо, че

Нека

Щом като x принадлежи на обединението то x принадлежи на едно от множествата.
Нека x да принадлежи на първото. Тогава y = f(x) принадлежи на f(X₁).
Сега да докажем обратното включване:

Нека y да принадлежи на обединението на f(X₁) и f(X₂) .
Тогава y принадлежи поне на едното множество. Нека да е първото.
Следователно съществува x от X₁ , което се изобразява в y.
Това x принадлежи на X₁ а следователно и на обединението X₁ и X₂. Следователно y е от